Les dérivations

Chapitre 5 : Dérivations (Partie 2)

Un peu d’histoire :

Le mot « dérivé » vient du latin « derivare » qui signifie « détourner un cours d’eau ». Le mathématicien franco-italien Joseph Louis Lagrange (1736–1813) a utilisé cette dénomination pour exprimer qu'une nouvelle fonction, appelée fonction dérivée, provient d'une autre fonction.

Notations pour ce cours :

• I désigne un intervalle de ℝ.

I. Fonctions dérivables

1) Définition

Une fonction f est dite dérivable sur un intervalle I si, pour tout nombre réel x_0 appartenant à I, la limite suivante existe :

f′(​)= ​ [pic 1][pic 2][pic 3]

On appelle f' la fonction dérivée de f sur I. Notation :

f′ : I → ,  ↦  f′( )[pic 4][pic 5][pic 6]

Cela signifie que f′ est une fonction qui prend un nombre xx appartenant à l'intervalle II et lui associe la valeur de la dérivée de f en x, notée f'(x). En d'autres termes, f′ est la fonction des dérivées de f pour chaque point de I.

Quand l'utiliser ?

• Utilisez cette notion lorsque vous devez étudier la variation d'une fonction (croissance ou décroissance).
• Elle est essentielle pour calculer la pente d’une tangente à une courbe en un point.

2) Dérivée de la fonction carrée

Si f(x) = x², alors f est dérivée sur ℝ, et sa dérivée est : f′(x)=2x

Démonstration : On calcule le nombre dérivé de f en un point quelconque  :[pic 8][pic 7]

On obtient donc la fonction dérivée : f'(x) = 2x.

Quand l'utiliser ?

• Cette formule est utile pour déterminer la pente de la tangente à une parabole en un point donné.

3) Dérivée de la fonction inverse

Si f(x) = , alors f est dérivable sur ℝ \ {0}, et sa dérivée est :[pic 9]

 f′(x) = [pic 10]

Quand l'utiliser ?

• Utile pour étudier des fonctions d'inverse ou des modèles qui suivent une loi d’inverse proportionnel.

4) Cas de la fonction racine carrée

Si f(x) = , alors f est dérivable sur ]0 ; +∞[, mais pas en 0.[pic 11]

Pourquoi ? Pour h > 0 :

[pic 12]

Quand h tend vers 0, cette expression devient infinie. Cela reflète que la tangente à la courbe est verticale en 0.

Quand l'utiliser ?

• Pour des problèmes impliquant des longueurs ou distances positives.

5) Cas de la fonction valeur absolue

Si f(x) = |x|, alors f est dérivable sur ℝ \ {0} et non dérivable en 0.

Pourquoi ? Pour h > 0 :

[pic 13]

Les limites à droite et à gauche de 0 diffèrent, donc la dérivée n’existe pas en 0.

Quand l'utiliser ?

• Utile pour des études de cas où une quantité est toujours positive (ex. distances, modules).

II. Tableaux de dérivées des fonctions usuelles

III. Opérations sur les dérivées

1) Somme et produit par un réel

[pic 21]

2) Produit de deux fonctions

[pic 22]

3) Quotient de deux fonctions

[pic 23]

4) Dérivée d'une fonction composée

[pic 24]

Applications pratiques :

1. Optimisation : Trouver les points où une fonction atteint ses maxima ou minima.
2. Tangentes : Calculer l'équation de la tangente à une courbe en un point donné.
3. Vitesse : En physique, la dérivée représente la

Fiche de révision : Chapitre 6 - Suites numériques

I/ Notion de suite

1) Définition-vocabulaire

Une suite numérique est une liste ordonnée de nombres. Chaque terme de la suite est appelé un terme. On numérote les termes à partir de 0 ou 1, ce numéro étant appelé indice.

Exemples :

• Suite1 : 0 ; 2 ; 4 ; 6 ; 8 ; 10 ; … (suite des nombres pairs)
• Suite2 : 5 ; 15 ; 45 ; 135 ; 405 ; … (suite géométrique)
• Suite3 : -5 ; -3 ; -1 ; 1 ; 3 ; 5 ; … (suite arithmétique)
• Suite4 : 1 ; 4 ; 9 ; 25 ; 36 ; 49 ; … (suite des carrés parfaits)

Une suite peut être représentée comme une fonction u : N → ℝ, où chaque indice n correspond à un terme , qui est l'image de n par la fonction. Exemple : =0 , =  2,…[pic 25][pic 26][pic 27]

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