Fiche de maths
Fiche : Fiche de maths. Recherche parmi 300 000+ dissertationsPar Fadila1234 • 23 Mars 2023 • Fiche • 1 969 Mots (8 Pages) • 244 Vues
Notion | Définition | Exemple |
Fonction continue en un point | Une fonction est continue en un point x = a si elle est définie en a et si la limite de la fonction en a existe et est égale à la valeur de la fonction en a. | f(x) = x² est continue en x = 2 car lim x → 2 f(x) = 4 = f(2) |
Continuité à gauche/à droite | Une fonction f est continue à gauche en x = a si la limite de f en a par les valeurs inférieures est égale à la valeur de f(a), et elle est continue à droite en x = a si la limite de f en a par les valeurs supérieures est égale à la valeur de f(a). | f(x) = |
Prolongement par continuité | On dit qu'une fonction f est prolongeable par continuité en x = a si la fonction prolongée g est continue en a et si g(x) = f(x) pour tout x différent de a. | f(x) = 1/x est prolongeable par continuité en x = 0 car la fonction prolongée g(x) = { 1/x si x ≠ 0, 0 si x = 0 } est continue en x = 0. |
Notions | Définitions | Exemples | Propriétés |
Fonction continue sur un intervalle | Une fonction est continue sur un intervalle si elle est continue en tout point de cet intervalle. | $f(x)=\sqrt{x}$ sur $[0,1]$ | La somme, le produit et la composition de fonctions continues sur un intervalle sont également continues sur cet intervalle. |
Continuité des fonctions usuelles | Les fonctions usuelles telles que les fonctions polynomiales, exponentielles, logarithmiques et trigonométriques sont continues sur leur domaine de définition. | $f(x)=x^2$ sur $\mathbb{R}$ | La somme, le produit et le quotient de fonctions continues sont également continues sur leur domaine de définition. |
Théorème des valeurs intermédiaires | Si une fonction continue sur un intervalle $[a,b]$ prend les valeurs $f(a)<c<f(b)$ (ou $f(a)>c>f(b)$), alors il existe un $x\in(a,b)$ tel que $f(x)=c$. | $f(x)=\sin(x)$ sur $[0,\pi]$ et $c=1/2$ | Le théorème des valeurs intermédiaires est également appelé théorème de Bolzano. |
Théorème de la bijection | Si une fonction continue $f$ sur un intervalle est strictement croissante (ou décroissante), alors $f$ est une bijection de l'intervalle sur son image. | $f(x)=e^x$ sur $\mathbb{R}$ | La fonction réciproque $f^{-1}$ d'une fonction continue et bijective est également continue. |
Continuité et fonctions réciproques | Si une fonction continue $f$ sur un intervalle est bijective, alors sa fonction réciproque $f^{-1}$ est également continue sur son image. | $f(x)=\tan(x)$ sur $(-\pi/2,\pi/2)$ | La fonction réciproque $f^{-1}$ d'une fonction continue et bijective est également dérivable avec une dérivée continue. |
Notions | Définitions | Exemples | Propriétés |
Probabilité conditionnelle | La probabilité conditionnelle d'un événement A sachant que B s'est produit est la probabilité de l'intersection de A et B divisée par la probabilité de B. | PA(B) = P(A ∩ B) / P(B) | Si B est certain, alors PA(B) = P(A). Si A et B sont indépendants, alors PA(B) = P(A). |
Formule des probabilités composées | La probabilité de l'intersection de plusieurs événements est égale au produit des probabilités conditionnelles de chaque événement sachant que les événements précédents se sont produits. | P(A ∩ B ∩ C) = P(A) x PB(A) x PC(A ∩ B) | La formule des probabilités composées peut être généralisée à un nombre quelconque d'événements. |
Formule des probabilités totales | Si B1, B2, ..., Bn sont des événements mutuellement exclusifs et exhaustifs, alors la probabilité de tout événement A est la somme des probabilités conditionnelles de A sachant que chaque événement Bi s'est produit multiplié par la probabilité de Bi. | P(A) = Σi P(A | Bi) x P(Bi) |
Formule de Bayes | La formule de Bayes est utilisée pour inverser les probabilités conditionnelles et trouver la probabilité d'un événement B sachant que l'événement A s'est produit. | PB(A) = PA(B) x P(B) / P(A) | La formule de Bayes est souvent utilisée dans le cadre de la classification et de la prise de décision. |
Indépendance de deux événements | Deux événements A et B sont indépendants si la probabilité de l'intersection de A et B est égale au produit des probabilités de A et de B. | P(A ∩ B) = P(A) x P(B) | Si A et B sont indépendants, alors la probabilité conditionnelle de A sachant que B s'est produit est égale à la probabilité de A, c'est-à-dire PA(B) = P(A). |
Événements mutuellement indépendants | Une collection d'événements est mutuellement indépendante si la probabilité de l'intersection de n'importe quelle combinaison d'événements est égale au produit des probabilités de chaque événement individuel. | P(A ∩ B ∩ C) = P(A) x P(B) x P(C) | Si A, B et C sont mutuellement indépendants, alors la probabilité conditionnelle de A sachant que B et C se sont produits est égale à la probabilité de A, c'est-à-dire PA(B ∩ C) = P(A). |
Notions | Définitions | Exemples | Propriétés |
Série de terme général un | Une série de terme général un est une suite infinie de nombres réels notée ∑un = u1 + u2 + ... + un + ... | ∑(1/n) est la série harmonique. | |
Somme partielle d'indice n | La somme partielle d'indice n d'une série est la somme des n premiers termes de la série. | Sn = u1 + u2 + ... + un | La somme partielle d'indice n peut être utilisée pour étudier la convergence de la série. |
Suite des sommes partielles | La suite des sommes partielles est la suite (Sn) où Sn est la somme partielle d'indice n de la série. | La suite des sommes partielles de ∑(1/n) est (1, 1+1/2, 1+1/2+1/3, ...) | |
Convergence | Une série convergente est une série dont la suite des sommes partielles a une limite finie. | La série ∑(1/n^2) est convergente. | |
Somme d'une série | La somme d'une série convergente est la limite de la suite des sommes partielles. | La somme de la série ∑(1/n^2) est π^2/6. | |
Divergence grossière | Une série est dite divergente grossièrement si la suite des sommes partielles tend vers l'infini. | La série ∑n est divergente grossièrement. | |
Condition de convergence | Une série à termes positifs est convergente si et seulement si la suite des sommes partielles est majorée. | La série ∑(1/2^n) est convergente car la suite des sommes partielles est majorée par 2. | |
Opérations sur les séries convergentes | Si deux séries ∑un et ∑vn sont convergentes, alors la série ∑(λun + µvn) est convergente pour tout λ et µ. | Si ∑un et ∑vn sont absolument convergentes, alors la série ∑(un + vn) est absolument convergente. | |
Convergence absolue | Une série ∑un est dite absolument convergente si la série ∑ | un | est convergente. |
Séries usuelles | Les séries géométriques sont de la forme ∑(λ^n) où λ est un nombre réel. Les séries géométriques dérivées d'ordre 1 et 2 sont de la forme ∑nλ^n et ∑(n^2)λ^n. La série exponentielle est de la forme ∑(λ^n/n!). | La série géométrique ∑(1/2^n) est convergente. La série géométrique dérivée d'ordre 1 ∑n(1/2)^n est convergente. La série exponentielle ∑(1/n!) est convergente et sa somme est e. |
Notions | Définitions / Formules / Concepts |
Nombre dérivé | Limite du taux d'accroissement : f'(a) = lim(h->0) [f(a+h) - f(a)]/h. |
Nombre dérivé à gauche et à droite | Nombre dérivé à gauche : f'(a-) = lim(h->0-) [f(a+h) - f(a)]/h. Nombre dérivé à droite : f'(a+) = lim(h->0+) [f(a+h) - f(a)]/h. |
Interprétation graphique | La dérivée f'(a) est la pente de la tangente au point d'abscisse a de la courbe représentative de f. |
Dérivabilité sur un intervalle | Une fonction f est dérivable sur un intervalle I si elle est dérivable en tout point de I. |
Dérivées des fonctions usuelles | (d/dx)(k) = 0, (d/dx)(x) = 1, (d/dx)(x^n) = nx^(n-1), (d/dx)(e^x) = e^x, (d/dx)(ln(x)) = 1/x, (d/dx)(sin(x)) = cos(x), (d/dx)(cos(x)) = -sin(x). |
Opérations sur les fonctions dérivables | Combinaisons linéaires : Si f et g sont dérivables sur I, alors cf+dg est dérivable sur I. Produit : Si f et g sont dérivables sur I, alors fg est dérivable sur I et (fg)' = f'g + fg'. Quotient : Si f et g sont dérivables sur I et g ne s'annule pas sur I, alors f/g est dérivable sur I et (f/g)' = (f'g - fg')/g^2. Composition : Si f est dérivable au point a et g est dérivable au point f(a), alors g o f est dérivable au point a et (g o f)'(a) = g'(f(a)) f'(a). |
Dérivée d'une fonction réciproque | Si f est une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle I, et si f admet une fonction réciproque f^-1, alors f^-1 est dérivable sur J = f(I) et (f^-1)'(y) = 1/f'(x), où x = f^-1(y). |
Lien entre signe de la dérivée et variations d'une fonction | Si f est dérivable sur un intervalle I, alors : - f est croissante sur I si f'(x) >= 0 pour tout x dans I. - f est décroissante sur I si f'(x) <= 0 pour tout x dans I. - f admet un maximum local en a si f'(a) = 0 et f'(x) < 0 pour x < a et f'(x) > 0 pour x > a. - f admet un minimum local en a si f'(a) = 0 et f'(x) > 0 pour x < a et f'(x) < 0 pour x > a. |
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