En quoi l’approche bayésienne permet-elle de résoudre une enquête criminelle ?

En quoi l’approche bayésienne permet-elle de résoudre une enquête criminelle ?

Introduction

En arrivant, sur une scène de crime, tout enquêteur peut dès le début faire plusieurs observations. Tous ces indices vont alors former un tableau qu’il va falloir décrypter pour trouver le coupable. Mais au fur et à mesure des jours, des recherches, de nouveaux indices vont faire leur apparition et il va falloir les intégrer à ce tableau, les relier avec les précédents indices et petit à petit réduire la liste de suspect.

Un théorème découvert il y a plus de 250 ans permettraient de calculer les différentes probabilités et ainsi minimiser les erreurs judiciaires. Le théorème de Bayes est aujourd’hui au service de la justice et nous allons donc analyser pendant les prochaines minutes en quoi l’approche bayésienne initier par son théorème permet-elle de résoudre une enquête criminelle ?

Dans un premier temps, nous allons parler du théorème en tant que tel puis dans une seconde partie, nous aborderons son utilisation en criminalistique. (3e partie -> l’intérêt de l’approche mathématique??)

Le théorème

A/ Thomas Bayes

Thomas Bayes est un mathématicien britannique qui a vécu de 1702 à 1761. Son essai publié à titre posthume va permettre de faire découvrir au monde ce qu’on appellera le théorème de Bayes. « Essai sur la manière de résoudre un problème dans la doctrine des risques » publié en 1764 est longtemps resté incompris. Mais il s'est révélé d'une importance décisive dans l'histoire des probabilités, voire dans celle de la pensée pratique. Thomas bayes est le premier à oser une conception « subjective » entre guillemets des probabilités. ->Pourquoi ??

B/ Le théorème

Le théorème de Bayes est donc l'un des principaux théorèmes de la théorie des probabilités. Il est aussi utilisé en statistiques du fait de son application.

Bayes cherchait à déterminer ce que l’on appellerait actuellement la distribution a posteriori de la probabilité p d’une loi binomiale.

Une loi binomiale, c’est simplement la fréquence du nombre de succès obtenus lors de la répétition de plusieurs expériences aléatoires identiques et indépendantes.

La distribution a posteriori, c’est la probabilité recalculée ou remesurée qu'un évènement ait lieu en prenant en considération une nouvelle information.

Donc pour résumer, Bayes cherchait un calcul permettant de connaitre la probabilité d’un évènement qui avaient deux issues possibles : l’échec ou la réussite de l’évènement en recalculant sa probabilité au fur et à mesure que de nouvelles données été ajoutés.

En d'autres termes, à partir de ce théorème, il est possible de calculer précisément la probabilité d'un évènement en tenant compte à la fois des informations déjà connues et des données provenant de nouvelles observations.

C/ La formule

La formule qu’on a aujourd’hui et qui a évolué depuis les travaux de Bayes est devant vous sur la planche A :

P(A|B) = P(B|A)*P(A)/P(B)

On considère deux évènements distincts A et B ;

La probabilité de A, c’est la probabilité que l’événement A se déroule a priori, sans prendre en compte aucun autre paramètre.

Quant à la probabilité de A sachant B, ou inversement, cela signifie la probabilité que l’évènement A se déroule sachant que l’évènement B s’est déjà déroulé, a posteriori, après en avoir pris connaissance.

Pour la remettre dans le contexte judicaire, à partir d’une ou plusieurs observations, on cherche à évaluer une proposition. Il n’y a donc pas de certitude mais le théorème et l’approche bayésienne nous permet d’éliminer ou de valider les propositions une par une.

L’expert sur une scène de crime doit évaluer ses observations au regard de plusieurs propositions comme l’évaluation d’un indice ou d’un résultat. Quand un ou une juge, lui, doit prendre une décision en évaluant une proposition à partir de diverses observations.

Dans une enquête, son utilisation

Nous allons maintenant utiliser un cas concret pour comprendre tous les tenants et les aboutissants de l’utilisation de ce théorème.

A/ Problème

Un homicide a été commis à Poitiers et une trace de sang appartenant à l’agresseur a été retrouvée sur la victime. Selon les enquêteurs, l’agresseur est un habitant de Poitiers. Un suspect est arrêté et son profil génétique est identique à celui retrouvé sur la victime. L’expert nous donne comme information qu’ « il y a 1 chance sur 1 milliard pour qu’une personne choisie au hasard dans la population de Poitiers et n’étant pas la source de la trace présente un profil génétique identique à celui retrouvé sur la victime »

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