Fiche corrélation paces

Fiche Corrélation :

Test de la corrélation Linéaire :

I- Coefficient de corrélation :

Le coefficient de corrélation  mesure l’association entre X et Y de façon identique à la pente de la droite de régression (α). Il mesure l’association linéaire entre X et Y.

Sur l’échantillon :

r= [pic 1]

Sur la population :

[pic 2]

On se rappelle que dans le cas d’une régression linéaire, le coefficient directeur de la droite de régression se calcule par :

α = [pic 3]

Donc par identification,  α[pic 4]

4 propriétés :

1)  est compris entre -1 et 1 et proche de 1 plus l’association entre X et Y est forte.[pic 5][pic 6]

2)  est du même signe que α.[pic 7]

3) Si X et Y sont indépendants, r=0. Mais la réciproque est fausse.

4)  est inchangé si on change d’unité et/ou d’origine pour X et Y.[pic 8]

Test du coefficient de corrélation de Pearsons.

Permet de déterminer s’il existe une relation linéaire entre X et Y.

Conditions d’application :

Distribution binormale de X et Y.

Statistique de test :

= [pic 9][pic 10]

avec var(r)=[pic 11]

Donc = [pic 12][pic 13]

Conclusion :

On lit le  sur la table de student à n-2 d.d.l.[pic 14]

[pic 15]

[pic 16]

Test bilatéral : On rejette  si [pic 17][pic 18]

Test unilatéral :

• p>0

On  rejette  si >[pic 19][pic 20][pic 21]

• p<0

On rejette  si [pic 22][pic 23]

Si on rejette , il existe une relation linéaire entre X et Y.[pic 24]

Si on retient  on ne peut pas mettre en évidence un lien entre X et Y. [pic 25]

Attention ça ne signifie pas qu’il n’existe pas de lien entre X et Y.

II- Coefficient de détermination :

Noté , permet de representer la part de variance de X ( ou Y) expliqué par la variance de Y ( ou X).[pic 26]

[pic 27]

Donc plus est proche de 1 plus les valeurs de X ( ou Y) expliquent les variations des valeurs de Y ( ou X).[pic 28]

Test de la pente de regression :

Permet de montrer un lien entre X et Y

Conditions d’applications :

• La regression doit être linéaire
• A X fixés, les valeurs de Y doivent être indépendantes et leur distribution normale et de variance constante.

Statistique de test :

= [pic 29][pic 30]

avec

 = [pic 31][pic 32]

Conclusion :

On lit le risque  sur la table de student à n-2 d.d.l.[pic 33]

[pic 34]

[pic 35]

Test bilatéral : On rejette  si [pic 36][pic 37]

Test unilatéral :

•  >0[pic 38]

On  rejette  si >[pic 39][pic 40][pic 41]

•  <0[pic 42]

On rejette  si [pic 43][pic 44]

Si on rejette , il existe un lien entre X et Y.[pic 45]

Si on retient  on ne peut pas mettre en évidence un lien entre X et Y. [pic 46]

Attention ça ne signifie pas qu’il n’existe pas de lien entre X et Y.

...