Population de bactéries
Fiche : Population de bactéries. Recherche parmi 300 000+ dissertationsPar Johayna23 • 26 Avril 2023 • Fiche • 1 510 Mots (7 Pages) • 305 Vues
DM 6 - Correction
Exercice 1 :
On étudie une population de bactéries cultivées dans un milieu liquide, sur une période de deux heures.
L’évolution du nombre de bactéries en fonction du temps est modélisée sur l’intervalle [0; 2] par une fonction qui,
au temps exprimé en heures, associe le nombre de bactéries exprimé en millions.
On a représenté la courbe de et les tangentes et à aux points et d’abscisses respectives 1,5 et 2.
La tangente passe par les points (0; 2) et (2; 22,25).
1.
a.
Décrire l’évolution du nombre de bactéries durant ces 2 heures.
La courbe de la fonction nous indique que le nombre de bactéries augmente au fil du temps.
La croissance accélère entre 0 et 1 heure environ, puis, elle ralentie entre 1 et 2 heures.
b.
Déterminer graphiquement ′(2).
La tangente est parallèle à l’axe des abscisses.
On a donc : ′(2) = 0.
c.
Calculer ′(1,5) sans utiliser ′( ).
La tangente passe par les points et . Son coefficient directeur, c’est-à-dire ′(1,5), est donc
égal à :
′(1,5) =
−
−
= 22,25−2 2−0
= 20,25
2
= 10,125
2.
On admet que ( ) = −4,5 3 + 13,5 2 + 2.
La vitesse de croissance du nombre de bactéries à l’instant est donnée par ′( ).
a. Calculer ′( ).
La fonction est dérivable sur [0; 2] en tant que somme et produit de fonctions dérivables sur cet
intervalle.
∀ ∈ [0; 2] , ′( ) = −4,5 × 3 2 + 13,5 × 2 + 0 = −13,5 2 + 27
b. Retrouver les résultats des questions 1.b. et 1.c.
′(2) = −13,5 × 22 + 27 × 2 = −13,5 × 4 + 54 = 54 − 54 = 0
′(1,5) = −13,5 × 1,52 + 27 × 1,5 = −13,5 × 2,25 + 40,5 = −30,375 + 40,5 = 10,125
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