Le Nombre D'or

Le Nombre d’Or

Mystérieuse expression qui revient fréquemment dans les propos des artistes et des poètes, le nombre d’or renferme-t-il comme le croient certains la clef de la connaissance ?

SOMMAIRE :

Introduction

I) Définition mathématique du nombre d’or

A) Définition de 

B) Arithmétique autour de 

C) Géométrie autour de 

II) Histoire du nombre d’or

A) Aperçu historique

B) Mystique et symbolique

III) Applications du nombre d’or

A)  dans la nature

B)  dans les arts visuels

C)  dans la rythmique des arts

Conclusion

Annexes

Bibliographie

Introduction

Le nombre irrationnel et intriguant qu’est le nombre d’or est connu depuis l’antiquité la plus reculée. Ce nombre est sujet à de nombreux débats et questionnements dans de nombreux domaines, en effet le nombre d’or est présent dans un grand nombre d’applications , que ce soit dans les mathématiques, l’art, l’histoire ou la littérature.

I) Définition Mathématique

A) DEFINITION DE 

Le nombre d’or est souvent appelé  (phi), en référence au sculpteur grec Phidias . La valeur exacte de ce nombre est . Sa valeur approchée est 1,618

 est la proportion des longueurs positives a et b vérifiant l’égalité suivante : .

B) ARITHMETIQUE AUTOUR DE 

Montrons que  est égal à .

Nous avons

 1+



Donnons la forme canonique de 2--1 :

=0

Selon l’identité remarquable , on a :

Un produit de facteurs est nul si au moins l’un de ses facteurs est nul. L’équation a deux solutions. Nous ne nous occuperons que de la solution positive (puisque  est un rapport entre deux longueurs positives) :

Nous avons démontré que  est bien égal à

C) GEOMETRIE AUTOUR DE 

Le nombre d’or est impliqué dans la construction de nombreuses figures géométriques caractéristiques. Le rectangle d’or est une figure de base constructible à partir de .

Dans le rectangle d’or, le rapport de la longueur sur la largeur est égal à .

Un exemple de rectangle d’or

Des études statistiques ont révélé qu’une majorité de personnes, devant plusieurs rectangles et devant choisir celui qui leur plaisait le plus, sélectionnait un rectangle dont les dimensions étaient extrêmement proches de celles de 

Du rectangle d’or découle la construction de la spirale d’or, présente dans nombre d’organismes vivants (coquillages, végétaux, … Nous y reviendrons en IIIème partie.) Cette spirale appartient aux cas particuliers des spirales que l’on appelle « logarithmiques ».

Construction de la spirale d’or

 joue aussi un rôle dans la construction du pentagone (voir en annexe 1).

Enfin,  se retrouve dans la suite de Fibonacci.

II) Histoire du nombre d’or

A) APERÇU HISTORIQUE

La découverte du nombre d’or remonte à l’antiquité la plus reculée. Probablement aux époques préhistoriques. En effet, nos ancêtres ont certainement su de bonne heure tracer un cercle et le diviser en deux trois quatre cinq… tronçons égaux (la division par cinq a pu leur être suggérée par la grande variété de fleurs à cinq pétales régulièrement réparties) et ayant appris à diviser la circonférence de cercle en cinq ou dix arcs égaux ils vinrent tout naturellement à construire les pentagones et décagones réguliers, ainsi ils avaient sous leurs yeux le nombre d’or.

Mais les preuves en textes écrits traitant des propriétés du nombre d’or n’apparaitront qu’avec les grecs, notamment grâce à Euclide qui est à l’origine d’un véritable traité écrit. Dans son traité, il ne prend pas la peine de designer le nombre par un nom particulier. En somme, Euclide fait figure de savant positif détaché des préoccupations mystiques. Les Eléments d’Euclide avait participé dès le XIIIe siècle de notre ère à diffuser largement le nombre d’or en Europe.

Pendant le Moyen Age Léonard de Pise (né vers 1180, appelé Fibonacci) fut l’un des plus grands parmi les mathématiciens de cette époque. On lui doit un important traité, le Liber Abaci , où il aborde toute une variété de problèmes théoriques et pratiques débouchant sur le nombre d’or.

En 1509, le moine franciscain Luca Pacioli, mathématicien de renom, publie à Venise un ouvrage intitulé Divina Proportione. (La proportion dont il s’agit caractérise des rapports dont la valeur commune est le nombre d’or) Cet ouvrage eut le privilège d’être illustré par Léonard de Vinci, il eut donc immédiatement un énorme retentissement international. C’est le premier traité consacré pour une large part au nombre d’or considéré dans ses propriétés mathématiques, ses attributs esthétiques, sans oublier certains aspects « mystiques ».

Depuis un siècle, le nombre d’or a suscité de nombreuses recherches, l’origine de ce renouveau se trouve dans les travaux de certains théoriciens allemands ayant entrainé l’intérêt

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