Test d’indépendance via le coefficient de corrélation

 Test d’indépendance via le coefficient de corrélation [pic 1][pic 2][pic 3]

coefficient de corrélation de Pearson mesure l’intensité & le sens de la relation linéaire entre deux variables sur une échelle qui va de -1≤r≤1

•  = -1 : parfaite relation négative[pic 4]
•  = 0 : aucune relation linéaire  [pic 5]
•  = 1 : parfaite relation positive[pic 6]
• r > 0 variables ont tendance à prendre de grandes valeurs simul et de petites valeurs simultan.
• r < 0 variables ont tendance à varier en sens inverse, c-à-d que l’une est grande lorsque l’autre est petite.

Les hypothèses : : ρ =  🡪 Absence de relation linéaire; : ρ  ≠           🡪 Présence d’une relation linéaire[pic 11][pic 7][pic 8][pic 9][pic 10]

où ρ dénote la corrélation dans la population de référence.

Remarque : l’hypothèse alternative pourrait être remplacée par

        : ρ            Présence d’une relation linéaire négative[pic 12][pic 13][pic 14]

: ρ             Présence d’une relation linéaire positive[pic 15][pic 16][pic 17]

Conditions de validité du test : Les variables à l’étude sont de distribution normale dans la population étudiée  ou n ≥ 30

Plus la valeur du coefficient de corrélation  estimée à partir de l’échantillon est grande (positive ou négative), plus on a tendance à rejeter l’hypothèse nulle.  Intuitivement, on doit rejeter  quand  prend une valeur trop extrême.[pic 18][pic 19][pic 20]

Relation significative  relation forte[pic 24]

Test d’indépendance pour deux variables qualitatives : le test du khi-deux

Si les événements A et B sont indépendants, alors il suffit d’en multiplier les probabilités pour obtenir la probabilité qu’ils se réalisent simultanément:  Effectifs espérés (sous l’hypothèse d’indépendance)[pic 31]

Concrètement, effectif espéré  = somme de la ligne x somme de la colonne / somme totale

En pratique, les choses sont souvent moins tranchées:

Le test d’indépendance du khi-deux nous permet de répondre à la question.

Les hypothèses confrontées lors d’un test d’indépendance :

 : les variables  et  sont indépendantes[pic 32][pic 33][pic 34]

 : les variables  et  sont dépendantes[pic 35][pic 36][pic 37]

Pour tester l’indépendance entre deux variables qualitatives, il suffit de tester la distance entre les effectifs observés et les effectifs espérés sous  (ceux qui seraient obtenus si les deux variables étaient indépendantes). [pic 38]

La statistique du test mesure cette distance (somme des différences au carré divisé par l’effectif espéré) pour l’ensemble des cellules :

=         (somme sur toutes les cellules)[pic 39][pic 40]

Intuitivement, on doit rejeter  quand  prend une valeur trop grande. [pic 41][pic 42]

On rejette l’hypothèse d’indépendance ( entre les deux variables si le seuil expérimental ≤ α.[pic 43]

Conditions de validité du test : n ≥ 30 ET Tous les effectifs espérés sous H0 doivent être ≥ 5

Pour deux variables qualitatives, l’intensité de la relation peut être mesurée par :Le coefficient de Cramer 

Il varie de 0 à 1. Une valeur de 0 signifie qu’il n’existe pas de relation entre les variables. Plus la valeur du coefficient de Cramer augmente, plus l’association entre les variables est forte.

[pic 44][pic 46][pic 47][pic 45]

Différence entre dépendance et causalité Ce type d’erreur est parfois nommé l’effet cigogne :

Les hypothèses de base de l’ANOVA à 1 facteur

H_0:μ_1=μ_2=⋯=μ_K  ("aucun impact")  

H_1: "au moins deux moyennes sont différentes"  [pic 48]

ANOVA : Analysis of variance

Le principe : décomposer la variabilité observée dans les données entre différentes sources pouvant expliquer cette variabilité.

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