La courbe de Lorenz

Inégalités : courbe de Lorenz, indice de Gini

Mise à jour : 25/09/2016

Ce texte présente deux outils fréquemment utilisés pour mesurer des inégalités (de revenu, de niveau d'études, etc.) entre personnes d'une même population ou entre populations distinctes : la courbe de Lorenz et l'indice de Gini

Introduction

Selon [1] page 55, au Ve siècle avant Jésus-Christ, le philosophe Platon prévenait les Athéniens :

« Il ne faut pas que certains citoyens souffrent de la pauvreté, tandis que d’autres sont riches, parce que ces deux états sont causes de dissensions. »

Les inégalités entre personnes ou entre populations choquent notre sens de l'équité, qu'il s'agisse de revenus, de niveau d'études, d'accès aux soins, etc.

Dans ce qui suit, nous ne considérons que les inégalités définies par une grandeur mesurable, comme « le revenu disponible des ménages » ou « le nombre d'années d'études » ; nous excluons toute notion non quantifiable comme « la qualité de la vie ».

La première idée qui vient à l'esprit pour comparer les revenus des populations de deux pays consiste à utiliser une moyenne comme le PIB par habitant en tenant compte du coût de la vie, c'est-à-dire à parité de pouvoir d'achat (PPA). Mais lorsqu'il y a une forte différence entre ces PIB à PPA, comme c'est le cas entre ceux des Etats-Unis et de la France qui sont en 2008 dans un rapport voisin de 1,47, on ne sait pas si « les pauvres sont plus pauvres aux Etats-Unis qu'en France » : un revenu moyen comme le PIB à PPA n'indique pas la dispersion des revenus du pays.

On peut alors songer à caractériser la distribution des revenus d'une population en utilisant un second paramètre comme l'écart absolu moyen, qui est la moyenne des valeurs absolues des écarts à la moyenne :

Soient n le nombre de personnes d'une population et r1, r2…rn les revenus de chacune. Le revenu moyen de la population est alors rm = (r1 + r2 +…+ rn)/n. L'écart entre le revenu de la personne de rang i et cette moyenne est, en valeur absolue, ei = |rm - ri| et l'écart absolu moyen est la moyenne des ei, c'est-à-dire (e1 + e2 +…+ en)/n.

Mais la comparaison des écarts absolus moyens de deux populations ne permet pas de comparer correctement les inégalités résultant des dispersions des revenus de ces deux populations. En effet, un même écart absolu moyen de 2000€ représentait en 2008 moins de dispersion des revenus aux Etats-Unis, où le PIB à PPA moyen était de 48 000€, qu'en France où il était de 32 700€.

Nous allons voir ci-dessous une approche permettant de comparer correctement les dispersions de distributions statistiques, comme celles des revenus, des niveaux d'études, etc.

Courbe de Lorenz

Supposons connue la distribution des revenus d'une population de n personnes, c'est-à-dire les n nombres r1, r2…rn.

1.      On calcule d'abord le revenu total de la population M = r1 + r2 +…+ rn.

2.      On range ensuite les n revenus individuels par ordre croissant et on les regroupe en classes de revenu croissant, par exemple comme ceci :

∙€€€€€€€€€€€ La première classe regroupe les 10 % de la population dont le revenu est le plus faible ; elle compte donc n/10 personnes.

∙€€€€€€€€€€€ La deuxième classe regroupe les 20 % de la population dont le revenu est le plus faible ; elle compte donc 2n/10 personnes et comprend toutes les personnes de la première classe.

∙€€€€€€€€€€€ La troisième classe regroupe les 30 % de la population dont le revenu est le plus faible ; elle compte donc 3n/10 personnes et comprend toutes les personnes des deux premières classes, etc.

∙€€€€€€€€€€€ La dixième et dernière classe comprend toute la population.

La courbe de Lorenz relie la suite des points représentant la progression de la fonction "cumul des revenus d'une classe donnée" (y, en ordonnées) lorsque la variable "effectif de la classe" (x, en abscisses) augmente.

La variable x a pour suite de valeurs les effectifs des classes successives, c'est-à-dire les pourcentages successifs de n : 10 %, 20 %, 30 %…100 %. La fonction y a pour valeurs la suite des cumuls de revenus des classes successives, cumuls exprimés en pourcentage du revenu total M de la population.

On aura ainsi, par exemple (voir courbe ci-dessous) :

∙€€€€€€€€€€€ Une première classe de revenus groupant les x1 = 10 % de la population dont les revenus sont les plus faibles et dont la somme y1 des revenus représente y1 = 3 % du revenu total M ;

∙€€€€€€€€€€€ Une deuxième classe regroupant les x2 = 20 % de la population dont les revenus sont les plus faibles, classe qui comprend la précédente et dont la somme y2 des revenus représente y2 = 11 % du revenu total M ;

∙€€€€€€€€€€€ Une troisième classe regroupant les x3 = 30 % de la population dont les revenus sont les plus faibles, une quatrième regroupant les premiers 40 %, etc. On arrivera ainsi à une neuvième classe regroupant les 90 % de la population dont les revenus sont les plus faibles, classe qui dispose de 79 % du revenu total M ; la dernière classe regroupe toute la population, qui dispose du revenu total M.

3.      On relie alors les points successifs (x,y). Par convention, le premier point est (0,0) : les zéro personnes dont le revenu est nul ont pour revenu cumulé 0. Cette courbe est appelée courbe de Lorenz des revenus de la population considérée.

Exemple donné par [2] : Courbe de Lorenz du revenu disponible par unité de consommation [3] de la population française en 2004 (en bleu).

[pic 1]

Courbe de Lorenz de la distribution des revenus disponibles
En abscisses : part dans la population totale - En ordonnées : part dans le revenu total

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