DDDQF

Physique
Mécanique

Les incertitudes

1. Introduction

La mesure
Lorsque nous prenons une mesure, nous ne pouvons pas prétendre que celle-ci correspond à la valeur exacte de la grandeur mesurée. Que la mesure soit celle d'une longueur, d'une masse, d'un volume ou d'un intervalle de temps, nous devons inévitablement nous rendre à l'évidence que notre mesure est plus ou moins proche de la réalité.

L'erreur
L'erreur, c'est l'écart entre la mesure et la valeur exacte. Puisque la valeur exacte est souvent inaccessible, l'erreur est inconnue.

L'incertitude absolue
L'incertitude absolue est une estimation de l'erreur que fait l'expérimentateur. L'incertitude absolue est l'écart maximum possible entre la mesure et la valeur exacte. La mesure et son incertitude absolue constituent un domaine de valeurs possibles à l'intérieur duquel se trouve la valeur exacte.

L : la mesure d'une longueur
ΔL : l'incertitude absolue associée à la mesure de la longueur

La valeur exacte se trouverait donc à l'intérieur du domaine délimité par L ± ΔL

[pic 1]

L'incertitude absolue dépend de plusieurs facteurs ; la précision de l'appareil de mesure, les conditions dans lesquelles se prend la mesure, l'habileté de l'expérimentateur, etc. Estimer correctement l'incertitude associée à une mesure exige une bonne part de jugement et d'expérience.

L'incertitude absolue s'exprime généralement avec un seul chiffre en utilisant les mêmes unités que celles associées à la mesure.

Exemple :      23,4  ±   0,5  cm

Puisque l'incertitude est estimée à 5 mm, la mesure est arrondie (si nécessaire) au millimètre le plus proche.

L'incertitude relative
L'incertitude relative est le rapport entre l'incertitude absolue et la mesure. Ce rapport est habituellement exprimé en pourcentage.

Exemple :      23,4  ±   0,5  cm pourrait aussi s'écrire 23,4 ± 2%

L'incertitude relative permet de comparer la précision de différentes mesures. La mesure la plus précise est celle dont l'incertitude relative est la plus faible.

Les chiffres significatifs
Lorsqu'on exprime une mesure directe ou le résultat d'un calcul, l'incertitude absolue associée au résultat est exprimée avec un seul chiffre significatif.  La mesure ou le résultat du calcul sera donc arrondi afin de ne comporter qu'un seul chiffre incertain.

Les chiffres significatifs sont : tous les chiffres certains plus le premier chiffre incertain.

Exemple :  le résultat d'un calcul donne   23,456 ± 0,234 cm.

Ce résultat devrait s'écrire, en tenant compte des chiffres significatifs, 23,5 ± 0,2 cm. L'incertitude à été arrondie pour ne comporter qu'un seul chiffre significatif et le résultat à été arrondi pour ne comporter qu'un seul chiffre incertain (le résultat comporte donc trois chiffres significatifs).

Dans les sections qui suivent, nous regarderons comment se répercutent les incertitudes lors des calculs.

2. Additions et soustractions

Exemple 1

si x = 102 ± 4 et y = 55 ± 3

A. Calculez  z ± Δz  si z = x + y

La valeur la plus probable pour z est : 102 + 55 = 157
la valeur maximale possible est : (102 + 4) + (55 + 3) = 164
la valeur minimale : (102 - 4) + (55 - 3) = 150

Le résultat : z = 157 ± 7

L'incertitude absolue sur le résultat de cette somme est la somme des incertitudes de chacun des termes de l'addition.

B. Calculez w ± Δw si w = x - y

La valeur la plus probable : 102 - 55 = 47
la valeur maximale possible : (102 + 4) - (55 - 3) = 54
la valeur minimale :  (102 - 4) - (55 + 3) = 40

Le résultat : w = 47 ± 7

L'incertitude absolue sur le résultat de cette soustraction est la somme des incertitudes de chacun des termes de la soustraction.

Les exemples précédents nous mènent à la règle suivante :

3. Multiplications et divisions

(a) Multiplications et divisions par une constante

Exemple 1

si x = 108 ± 6

A. Calculez  z ± Δz  si z = 3x

La valeur la plus probable pour z est : 108 (3) = 324
la valeur maximale possible est : (108 + 6) (3) = 342
la valeur minimale : (108 - 6) (3) = 306

Le résultat : z = 324 ±18 ou  z = 320 ± 20

L'incertitude absolue sur le résultat de la multiplication par 3 correspond à trois fois l'incertitude absolue associée à x.

B. Calculez w ± Δw si w = 1/2 x

La valeur la plus probable : 108/2 = 54
la valeur maximale possible : (108 + 6)/2 = 57
la valeur minimale :   (108 - 6)/2 = 51

Le résultat : w = 54 ±3

L'incertitude absolue sur le résultat de cette multiplication correspond à la moitié de l'incertitude absolue associée à x.

Les exemples précédents nous permettent de conclure que lors d'une multiplication par une constante ne possédant pas d'incertitude, l'incertitude absolue résultante s'obtient en multipliant l'incertitude absolue initiale par cette constante. Cette propriété est particulièrement utile lors des changements d'unités. Il est important de réaliser que même si l'incertitude absolue résultante est inférieure à l'incertitude absolue initiale, l'incertitude relative est restée la même.

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