Etude d'une fonction

EQUATIONS  ET  INEQUATIONS

I- Equations

1- Equation du 1er degré

C'est l'équation du type ax + b = 0 avec a ≠ 0

Ex 1: 2x +3 = 0 équation du 1er degré

Ex 2: ( m‒1 ) x + 4 = 0 Equation du 1er degré si m‒1 ≠0

Ex 3: ( 2‒m ) x + 3m = 6

Résolution

Ex 1: 2x + 3 = 0  ⇒  2x = ‒3  ⇒x = ‒[pic 1]    ⇒    

Ex 2 :

1er cas  : m‒1 = 0   ⇒ m = 1  on a :  0 x + 4 = 0   ⇒ 0 = ‒4 ce qui est  impossible

2e cas : m-1  ≠ 0 ⇒ m ≠1

( E 2 ) : (m‒1)x = ‒4  ⇒ x = ‒4 ⇒

m‒1

Ex 3 : (2‒m x + 3m = 6   )        ⇒ (2‒m x + 3m )        ‒ 6 =

0

1er cas : 2‒ m = 0  ⇒ m = 2

( E3 ) : 0 x + 6 ‒6 = 0   ⇒ 0x = 0  ⇒     

2ème cas : 2‒m  ≠ 0   ⇒ m  ≠ 2

( E3 ) : ( 2‒m ) x = 6 ‒3m  ⇒ x = 62‒‒3mm = 3(22‒‒mm) = 3

S = { 3 }

NB : Résoudre dans ℕ ; ℤ et ℝ  l'équation

2x + 5 = 0  ⇒ x =  −5[pic 2] 

Sℕ = ϕ     Sℤ = ϕ            

2- Equation du 2nd degré ax2 + bx +c = 0 avec  a ≠ 0 Exemple :

x2‒3x + 2 = 0 ; mx2 + ( m ‒1 ) x + 5 = équation du second degré. Résolution

ax2 + bx + c  = 0 avec  a ≠ 0

•  Calcul du discriminant ( Δ )

Δ = b2 ‒ 4ac

• Δ ≺ 0    ⇒ pas de racine c'est à dire S = ϕ
• Δ ≻ 0    ⇒ deux racines distinctes  x1 = ‒b ‒        Δ ; x2 = ‒b +        Δ[pic 4][pic 5]

        2a        2a

avec S = {x1 , x2}

• Δ = 0  ⇒ une racine double

x1 = x2 = ‒ b   ⇒ S = { x1 }

2a Ex :

( )E1 x2 ‒ 3x + 2 = 0

Δ = 9 ‒4 ( 1 ) ( 2 ) = 9 ‒8 =1

Δ ≻ 0  ⇒ x1 = (−3) ‒ 1 =  3−1 = 1      

        2        2

(−3) + 1        3+1 x2  =           =          = 2

        2        2

3-Factorisation d'une fonction polynôme du second degré

f est une fonction polynôme du 2nd degré  c'est à dire f ( x )  = ax2 + bx +c ;      pour factoriser cette expression de f ( x ) , on résoud d'abord l'équation f( x ) = 0 puis on discute selon la valeur de Δ si l'expression factorisable ou non.

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