Démonstration éxigible

Introduction - Que faire avec ces ROC - Pourquoi apprendre ça ?

Dans cette page sont contenues toutes les ROC (Restitution organisée des Connaissances) indiquées explicitement dans le nouveau programme de terminale S entré en vigueur à la rentrée 2012. 
Toutes ces ROC sont à connaître impérativement. Elles sont exigibles le jour du bac (et éventuellement lors d'un oral de rattrapage). Cela ne signifie pas que la connaissance de ces quelques démonstrations soit suffisante pour appréhender correctement le programme de terminale S. 

Pourquoi apprendre ces démonstrations ?

Pour plusieurs raisons:

• La réponse la plus "simpliste et dénuée de sens" (mathématique mais pas que) est qu'elles sont exigibles au bac, que chaque année, sur chaque sujet, un exercice (ou partie) porte dessus. 
  Il faut donc les connaître...
• Ces démonstrations sont à travailler et à être connues car elles contiennent des éléments clés sur le programme de terminale. 
  C'est en se frottant à celles-ci que l'on peut savoir si on maîtrise effectivement les connaissances mathématiques requises, pour la démonstration en question certes, mais aussi pour aborder d'autres types d'exercices, de problèmes, ...
• Utiliser et appliquer une propriété ou un théorème demande de connaître un ensemble d'hypothèses à vérifier (qui consituent d'une certaine façon son domaine d'application ou de validité). 
  C'est en travaillant et comprenant sa démonstration que l'on peut comprendre clairement l'utilité de chacune de ses hypothèses, pourquoi elles sont nécessaires, pourquoi la propriété devient fausse si on en oublie une, ...
• Souvent, quand on ne sait pas résoudre un problème, répondre à une question, c'est parce que "on ne sait pas comment commencer", "on n'a pas d'idée"... 
  Les démonstrations contiennent justement ces idées. Cette question me fait penser à tel théorème ou telle propriété ? Alors j'ai une idée pour l'attaquer: celle contenue dans sa démonstration. 
  Pour cette raison, entre autre, il est donc conseillé d'apprendre non pas chaque démonstration par coeur, mais d'essayer de prendre du recul, et de retenir surtout l'idée principale (de la même façon qu'on n'apprend pas par cœur une œuvre complète d'un écrivain ou d'un philosophe, mot à mot, mais qu'on se concentre plus sur la synthèse de son, ou ses, idées directrices). 
  
  En générale, au niveau terminale S, une démonstration = une idée, le reste de la démonstration étant constitué de calculs ou d'application d'autres résultats connus.
• Enfin, sans sa démonstration, une propriété se réduit à une simple recette de cuisine. On peut encore l'utiliser, l'appliquer, mais au prix fort: il faut être exactement dans le cadre imposé par la recette, une hypothèse non satisfaite, un élément manquant et celle-ci doit-être purement et simplement abondonnée. 
  En connaissant la démonstration, son mécanisme, même si la propriété n'est pas directement utilisable, on a une chance de pouvoir néanmoins l'adapter au cas précis que l'on a sous les yeux. Les conclusions ne seront certainement pas les mêmes, mais peut-être peuvent-elles alors suffire pour résoudre le problème.

Pour toutes ces raisons, il est donc largement conseillé de bien travailler et connaître ces démonstrations, qui valent donc largement autant que de faire et refaire des exercices plus ou moins "types", et du coup, est largement aussi conseillé de ne pas s'arrêter uniquement à ces quelques maigres démonstrations pointées du doigt par le programme, et donc de revenir sur ses cours, et de s'attabler sérieusement devant toutes les démonstrations. 

Suites

Propriété

Si  et  sont deux suites telles que

• à partir d'un certain rang, ,

alors, .

Démonstration: Comme , tout intervalle , , contient tous les  à partir d'un rang .

C'est-à-dire que, dès que , on a .

Or, à partir d'un certain rang, que l'on peut noter , .

Ainsi, si on note  le plus grand des rangs  et , on a, pour tout rang , .

En d'autres termes, tout intervalle  contient tous les  à partir du rang , ce qui est la définition de . 

Propriété

Si une suite est croissante et converge vers un réel  , alors tous les termes de la suite sont inférieurs ou égaux à .

Démonstration: Raisonnement par l'absurde:

Supposons qu'il existe un rang  pour lequel  . Alors, il existe un réel  tel que  .

Comme  est croissante, pour tout  , on a alors  .

D'autre part, comme  converge vers  , tout intervalle ouvert du type  ,  , contient tous les termes  à partir d'un certain rang.

Comme cela est vrai pour tout réel  , on peut choisir par exemple  , et il existe donc un rang  à partir duquel tous les termes  sont dans l'intervalle  . En particulier, dès que  , on a  .

Si maintenant  désigne le plus grand des rangs  et  , on doit avoir, dès que  (c'est-à-dire, dès que  et  ),  et  , ce qui est impossible.

Ainsi, l'hypothèse de départ: «il existe un rang  pour lequel  »est fausse, et donc pour tout rang  ,  . 

Propriété

Si  , alors  .

Démonstration:  , alors il existe un réel  tel que  .

Alors  .

Démontrons par récurrence que, pour tout entier naturel  ,  .

Initialisation: Pour  ,  et d'autre part  , et on a donc bien ainsi  .

Hérédité: Supoposons que pour un certain entier  , on ait  .

Alors, au rang  ,

 , or, d'après l'hypothèse de récurrence,  , et ainsi,

 .

De plus, pour tout entier  ,  , et donc,  .

Ainsi,  , ce qui montre que la propriété est encore vraie au rang  .

Conclusion: D'après le principe de récurrence, on a donc démontré que, pour tout entier  ,  .

On a donc, pour tout entier  ,  .

Or, comme  , on a  , et alors, d'après le théorème de comparaison (corollaire du théorème des gendarmes),  . 

Propriété

Toute suite croissante non majorée tend vers .

Démonstration: Soit  une suite croissante et non majorée.

Alors, comme  n'est pas majorée, pour tout réel  , il existe un rang  tel que  .

De plus,  est croissante, et donc, pour tout rang  , on a  .

Ceci étant vrai pour tout réel  , cela signifie exactement que tout intervalle ouvert  contient tous les termes  à partir d'un certain rang  , et donc que  . 

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