Complément sur la dérivation

Compléments sur la dérivation

1. Approfondissement sur les dérivées

a. Fonction composée

Définition

Soient 𝑢 une fonction définie sur un intervalle 𝐼 à valeurs dans un intervalle 𝐽 et 𝑣 une fonction définie et dérivable sur l’intervalle 𝐽. La fonction composée de 𝑢 suivie de 𝑣, notée 𝑣 ∘ 𝑢, qui se lit « 𝑣 rond 𝑢 », est la fonction définie sur 𝐼 par :

(𝑣 ∘ 𝑢)(𝑥) = 𝑣(𝑢(𝑥))

Exemple

Soient 𝑢 la fonction définie sur R par 𝑢(𝑥) = 𝑥2 + 1 et 𝑣 la fonction définie sur R+ par 𝑣(𝑥) = √𝑥.

Comme𝑥2 +1>0,alors𝑥2 +1∈R+ alorslafonction𝑣∘𝑢estdéfiniesurRpar(𝑣∘𝑢)(𝑥)=𝑣(𝑢(𝑥))=√𝑥2 +1.

Remarque

En général 𝑣 ∘ 𝑢 ≠ 𝑢 ∘ 𝑣 :

2 Les fonctions 𝑢 et 𝑣 sont définies respectivement sur R par 𝑢(𝑥) = 2𝑥 − 1 et 𝑣(𝑥) = 𝑥 .

2 La fonction 𝑣 ∘ 𝑢 est définie sur R par (𝑣 ∘ 𝑢)(𝑥) = 𝑣(𝑢(𝑥)) = 𝑣(2𝑥 + 1) = (2𝑥 + 1) .

La fonction 𝑢 ∘ 𝑣 est définie sur R par (𝑢 ∘ 𝑣)(𝑥) = 𝑢(𝑣(𝑥)) = 𝑢(𝑥2) = 2𝑥2 + 1. b. Dérivée d’une fonction composée

Propriété (admise)

Soient 𝑢 une fonction définie sur un intervalle 𝐼 à valeurs dans 𝐽 et 𝑣 une fonction définie et dérivable sur 𝐽. Alors la fonction 𝑣 ∘ 𝑢 est dérivable sur 𝐼 et (𝑣 ∘ 𝑢)′ = 𝑢′ × (𝑣′ ∘ 𝑢).

C’est-à-dire que pour tout 𝑥 ∈ 𝐼, on a (𝑣 ∘ 𝑢)′(𝑥) = 𝑢′(𝑥) × 𝑣′(𝑢(𝑥)).

Exemple

Reprenons 𝑢 et 𝑣 sont les fonctions définies sur R par 𝑢(𝑥) = 𝑥2 + 1 et sur R+ par 𝑣(𝑥) = √𝑥. 𝑢 est dérivable sur R et 𝑣 est dérivable sur R+ donc la fonction 𝑣 ∘ 𝑢 est dérivable sur R.

′′1 Pour tout réel 𝑥, 𝑢 (𝑥) = 2𝑥 et pour tout réel 𝑥 positif, 𝑣 (𝑥) = 2√𝑥.

′21𝑥 Pourtoutréel𝑥,(𝑣∘𝑢)(𝑥)=𝑢′(𝑥)×𝑣′(𝑢(𝑥))=2𝑥×𝑣′(𝑥 +1)=2𝑥×2√𝑥2+1=2√𝑥2+1.

Conséquence

Soit 𝑢 une fonction définie et dérivable sur un intervalle 𝐼. • (𝑒𝑢)′=𝑢′𝑒𝑢

• Pour tout entier naturel 𝑛 non nul, (𝑢𝑛)′ = 𝑛𝑢′𝑢𝑛−1 Exemple

𝑥 On considère la fonction 𝑓 définie par 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥−1.

On souhaite déterminer l’ensemble de définition de 𝑓 puis étudier ses variations.

On a 𝑓 = 𝑣 ∘ 𝑢 avec 𝑢(𝑥) = 𝑥 pour tout réel 𝑥 ≠ 1 (car 𝑥 − 1 ≠ 0 ⇔ 𝑥 = 1)et 𝑣(𝑥) = 𝑒𝑥 pour tout réel 𝑥.

• Si 𝑢 ne s’annule pas sur 𝐼, alors

• Si 𝑢 est strictement positive sur 𝐼, alors (√𝑢)′ = 𝑢′

1 𝑢′ = − 2

𝑢𝑢

2√𝑢

𝑥−1

La fonction 𝑓 est donc définie sur ]−∞; 1[ ∪ ]1; +∞[.

′

𝑓 est dérivable sur ]−∞; 1[ ∪ ]1; +∞[ et comme 𝑢 (𝑥) =

1×(𝑥−1)−𝑥×1

2

= −

1 (𝑥−1)

2 alors on en déduit :

Mme PREL

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(𝑥−1)

Terminale Générale

Compléments sur la dérivation

′ ′ 𝑢(𝑥) 𝑓 (𝑥) = 𝑢 (𝑥)𝑒

1 𝑥

= −

(𝑥 − 1)2

𝑒𝑥−1

Puisque 𝑒 𝑥 > 0 et que 1 > 0, alors 𝑓′ 𝑥 < 0 et par conséquent la fonction 𝑓 est strictement décroissante sur 𝑥−1 (𝑥−1)2 ()

]−∞; 1[ et sur ]1; +∞[.

c. Dérivée seconde

Définition

Soit 𝑓 une fonction dérivable sur un intervalle 𝐼 et 𝑓′ sa dérivée.

Si 𝑓′est elle aussi dérivable sur 𝐼, on dit que 𝑓 est deux fois dérivable sur 𝐼 et la dérivée de 𝑓′ est appelée dérivée seconde de 𝑓 et est notée 𝑓′′.

Exemple

Soit 𝑓 la fonction polynôme définie sur R par 𝑓(𝑥) = 4𝑥3 + 2𝑥2 + 13𝑥 + 9.

𝑓 est dérivable sur R et, pour tout réel 𝑥, on a 𝑓′(𝑥) = 12𝑥2 + 4𝑥 + 13.

𝑓′ est un polynôme qui est donc dérivable sur R et, pour tout réel 𝑥, on a 𝑓′′(𝑥) = 24𝑥 + 4. Ainsi la dérivée seconde de la fonction 𝑓 est la fonction 𝑓′′ définie sur R par 𝑓′′(𝑥) = 24𝑥 + 4.

Remarque

On note 𝑓(𝑛) la dérivée 𝑛-ième. En particulier 𝑓(0) = 𝑓, 𝑓(1) = 𝑓′ et 𝑓(2) = 𝑓′′. 2. Convexité

Définitions

Soit 𝑓 une fonction définie sur un intervalle 𝐼.

• On dit que 𝑓 est convexe sur 𝐼 lorsque sa courbe représentative est située en dessous de chacune de ses sécantes

entre les deux points d’intersection.

• On dit que 𝑓 est concave sur 𝐼 lorsque sa courbe représentative est située au-dessus de chacune de ses sécantes

entre les deux points d’intersection.

Exemples

• La fonction carré est convexe sur R. • La fonction

...