Année universitaire 2013-14. 1er semestre L1

Mathématiques 1. Année universitaire 2013-14. 1er semestre L1

Ufr d’économie  Divisions 1 et 2

Cours de Claude Bressand, Jean-François Caulier

                   T.D. 1-2. Révisions du lycée, raisonnement par récurrence

Exercice 1

Comment appelle-t-on l’expression 7-2x=x+1 ? La résoudre.

Exercice 2

Soit l’équation du 1er degré (7-a)x+a=3x-5b où x est l’inconnue, a et b sont des paramètres. Que signifient « paramètres », « inconnue » ? La résoudre selon les valeurs de a et b.

Exercice 3

a) Que signifie l’affirmation : m est une racine carrée de A ?

b) Quelles sont les racines carrées d’un nombre positif A?

c) Quelles sont les racines carrées d’un nombre négatif –A (A>0)?

d) Mêmes questions que b) et c) pour des racines cubiques

e) Peut-on généraliser pour des racines paires ? Impaires ?

Exercice 4

a)Résoudre le plus simplement possible (c'est-à-dire sans considérer qu’il s’agit d’équations du second degré) les équations suivantes :

 4x2-16=0, 3x2+50=0, 5x2=-15x

Exercice 5

Résoudre les équations suivantes : 3x2-2x+2=0, 4x2+12x+9=0, -x2-2x+5=0,

-(x-3)2-(2-3x)+(5x+4)2+2x-1=0 . Dans chaque cas, précisez le signe du trinôme constitué par le 1er membre de chaque équation selon les valeurs de x. 

Exercice 6

Résoudre les équations suivantes : [pic 1], [pic 2]

Exercice 7

Simplifiez et réduisez au même dénominateur les expressions suivantes : [pic 3],[pic 4],[pic 5]

Exercice 8

Déterminez le signe de[pic 6], avec a>b>0

Exercice 9

Résoudre l’inéquation(x+1)(8-2x)(2x-5)>0

Exercice 10

Représentez graphiquement sur un système de 2 axes orthonormés les équations y=2x+1, y=-3, y=-x+3, x=5.

Déterminez graphiquement le domaine vérifiant simultanément y<2x+1, y>-x+3, x<5.

Exercice 11

Ecrire sans valeurs absolues les expressions suivantes :∣x-3∣ = 2, ∣x-4∣ <3,

y=∣2x-1∣ +1. Représentez celles-ci sur un système d’axes orthonormés.

Exercice 12

A, B, C étant trois sous-ensembles de l’ensemble E, vérifiez graphiquement les relations suivantes :A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C) ; CE(A∪B) = CEA∩CEB. CEA est le complémentaire de A dans E.

Exercice 13

Soit un ensemble E constitué des 3 éléments a, b, c. Faites la liste des éléments de P(E), ensemble des parties de E. Vérifiez qu’il y en a 23 =8.

Exercice 14

Montrer par récurrence (en rédigeant complètement le raisonnement) que l’on a :

      1 + 2 + 3 + ... + n = [pic 7].   ,      [pic 8] ,

(1 + 2 + 3 + ... +n)2 =(13 + 23 + 33 + ... +n3).

Exercice 15

Sachant qu’un nombre (naturel) n appartenant à N est pair s’il peut se mettre sous la forme n=2p, où p ∈ N, et impair s’il peut se mettre sous la forme n=2p+1, où p ∈ N, les propositions suivantes sont-elles vraies ?

a)Le carré d’un nombre pair est pair.

b)Le carré d’un nombre impair est impair.

c)Si le carré d’un nombre est pair, alors ce nombre :

c1) peut être pair

c2) est nécessairement pair.

Exercice 16

On considère 10 boules numérotées de 1 à 10, dont les quatre premières sont blanches et les autres vertes. On les range au hasard dans une suite de 5 boites consécutives alignées:

a) Quel est le nombre de configurations différentes pouvant être obtenues en tirant 5 boules parmi les 10?

b) Même question si on ne tient compte que de la couleur.

Exercice 17

Montrez que [pic 9].

T.D 3-4. Suites

Exercice 1

Soit la suite vn vérifiant vn = vn-1 +4, avec v0 =6.

1. Quelle est la nature de cette suite ? Déterminez n tel que vn = 54. Quel est le rang de ce terme ?

2. Déterminez l’expression de la somme Sn des n premiers termes de cette suite (de v0 à vn-1).

3. Calculez S15.

Exercice 2

Soit la suite un de terme général : un  = [pic 10], i > 0 avec u0 =1.

1. Démontrez que cette suite est positive.
2. Ecrire un-1 . Comment passe-t-on de un-1 à un ? Quelle est la nature de cette suite ?
3. Cette suite est-elle monotone ?
4. A-t-elle une borne inférieure ? Une borne supérieure ?
5. Est-elle convergente ? Si oui, quelle est intuitivement sa limite a? Démontrer que cette valeur est effectivement la limite (on pourra écrire la définition formelle de la limite puis montrer qu’il existe n0 tel que si n > n0, ⎢un –a ⎢< ε, pour ε•0 donné).

Soit la suite Sn de terme général : Sn = [pic 11] (on remarque que Sn est la somme des n premiers termes de un)

1. Trouver l’expression synthétique  de Sn.
2. En déduire sa limite lorsque n tend vers l’infini.
3. Si i = 5%, quelle est la valeur actuelle de 1000 euros disponibles dans 5 ans ?

Exercice 3

Soit  la suite définie par :     un =  [pic 12],    n ≥ 2, n ∈ IN .

1. Cette suite est-elle positive (le démontrer) ?
2. La suite un est-elle monotone ? Est-elle minorée ? A-t-elle une borne inférieure ?
3. La suite un est-elle majorée ? A-t-elle une borne supérieure (on se rapportera utilement aux td 1-2) ?
4. La suite un  admet-t-elle une limite ? Laquelle ?

Exercice 4

Soit la suite [pic 13], avec u0 =6

1) Montrez par récurrence que un >0.

2) un est-elle monotone ?Est-elle croissante ou décroissante ?

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