Suites numériques

Suites numériques

1. Généralités sur les suites

1. Définitions

Une suite est une fonction définie sur N ou une partie de N et à valeur dans R.

• La suite U se note également ainsi : (Un) ou (U n)n∈N ou encore (U n)n≥0
• Les termes de la suite U se notent : U0 ; U1 ; U2 ; U3 ; · · · ; Un
• On nomme Un le terme d’indice n de la suite (Un)n∈N
• On appelle Un le terme général de la suite U.

Remarques : 

• Une suite peut être définie à partir d’un certain rang n0, c’est à dire que si par exemple n0 = 3 les premiers termes de la suite U sont : U3 ; U4 ; U5 ; U6 ; · · ·
• Pour tout entier naturel n, le terme précédent Un+1 est Un, le terme précédent de U7 est U6. Si n ≥ 1, le terme précédent de Un est Un-1.
• Pour tout entier naturel n, le terme suivant Un+1 est Un+2, le terme suivant de U7 est U8, le terme suivant Un est Un+1.

1. Suites définies par une relation fonctionnelle

Soit f une fonction de la variable n, définie sur une partie de N. Une suite peut être définie par une relation du type Un = f (n)

1. Suites définies par une relation de récurrence

Une suite peut être définie par une relation dite de récurrence, c’est à dire une relation qui définit un terme en fonction d’un ou de plusieurs termes précédents. On doit dans ce cas préciser le ou les premiers termes. Par exemple sous réserve de définition de la fonction f on a la suite U définie par Un+1=  f (Un).

1. Suites  arithmétiques

1. Définition

Une suite (Un)n∈N est dite arithmétique lorsque chaque terme se déduit du précédent en ajoutant une constante r , appelée raison. La suite U définie par son premier terme U0 et pour tout entier n, par la relation de récurrence Un+1 = Un + r est une suite arithmétique de raison r.

Remarque : Pour montrer qu’une suite est arithmétique, on peut montrer que la différence de deux termes consécutifs est une constante égale à la raison r soit pour tout entier n :

Un+1 - Un = r

1. Expression du terme général

Le terme général d’une suite arithmétique U de premier terme Up et de raison r est pour n ≥ p :

Un = Up + (n − p)r

• Pour p = 0 on a pour tout n entier, n ≥ 0 : Un = U0 + nr
• Pour p = 1 on a pour tout n entier, n ≥ 1 : Un = U1 + (n – 1)r

1. Réciproque et propriété

Soit U une suite. S’il existe deux réels a et b, tels que on a la relation Un = an + b pour tout entier naturel n, alors la suite U est arithmétique de raison r = a et de premier terme b.

Dans un repère du plan, les points An de coordonnées (n ; Un) sont alignés si, et seulement si, la suite U est arithmétique.

1. Suites géométriques

1. Définition

Une suite (Un)n∈N est dite géométrique lorsque chaque terme se déduit du précédent en le multipliant par une constante q, appelée raison. La suite U définie par son premier terme U0 et pour tout entier n, par la relation de récurrence Un+1 = q Un est une suite géométrique de raison q .

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