Equations et inéquations du second degré

I Les équations du second degré

1. Forme canonique

Exemples: Soit x є R

x²+6x+9 = (x+3)²

Donc: x²+6x = (x+3)²-9

x²-4x+4 = (x-2)²

Donc: x²-4x = (x-2)²-4

x²+8x+16 = (x+4)²

Donc: x²+8x = (x+4)²-16

2x²+4x+15 = 2(x²+2x+152)

                = 2[(x+1)²-1+152]

                = 2[(x+1)²+132]

Cas général:  ax²+bx+c avec a≠0

ax²+bx+c = a(x² + 2*1/2*bxa+ca)

               = a[(x+b2a)² - (b2a )² +ca ]

               = a[(x+b2a)² -b²4a²+ca ]

               = a[(x+b2a)² -b²−4ac4a²]

Propriété: Soit a,b,c des réels avec a≠0.

Alors pour tout réel x, on a:

ax²+bx+c = a[(x+)² - ]

avec Δ=b²-4ac

Définition: Δ est appelé discriminant de ax²+bx+c

1. Solution de ax²+bx+c

Définition: on appelle équation du second degré à une inconnue x toute équation équivalent à ax²+bx+c avec a,b,c réels et a≠0

Théorème: Soit a,b,c des réels avec a≠0 et Δ=b²-4ac

a) Si Δ<0 alors l'équation n'a pas de solution réelle.

b) Si Δ=0 alors l'équation a une unique solution:

c) Si  Δ>0 alors l'équation a 2 solutions: et  

Démonstration : Soient a, b et c des réels avec a non nul. Nous souhaitons résoudre l'équation : ax²+bx+c=0.

        Nous savons que pour tout réel x, ax²+bx+c=a[(x+b2a)²-Δ4a²]

        Par la suite, nous avons les équivalences suivantes :

ax²+bx+c=0  

↔ a[(x+b2a)²-Δ4a²]=0

↔ (x+b2a)² -Δ4a² =0  (car a est ≠ 0)

↔ (x+b2a)² =Δ4a²

Cas n°1:  Δ<0:

        AlorsΔ4a² <0 pour tout réel x, (x+b2a)² ≥ 0

        et l'équation n'a pas de solution réelle.

Cas n°2: Δ=0 :

        ax²+bx+c=0

     ↔(x+b2a)² =0

     ↔x+b2a=0

     ↔x=−b2a

Cas n°3: Δ>0

        AlorsΔ4a² =(Δ4a²) ² =(Δ2a) ².

ax²+bx+c = 0

↔ [(x +b2a)² -Δ4a² ] = 0

↔ [(x +b2a)² - (Δ2a)²]=0

...