Suites numériques : limite finie ou infinie
Cours : Suites numériques : limite finie ou infinie. Recherche parmi 299 000+ dissertationsPar Guillaume Morel • 19 Mars 2017 • Cours • 641 Mots (3 Pages) • 673 Vues
1. Limite infinie
Soit u = (un) une suite numérique.
Définition 1
On dit que la suite u a pour limite quand n tend vers lorsque tout intervalle de la forme contient toutes les valeurs un à partir d’un certain rang.
Autrement dit, la suite u a pour limite quand n tend vers lorsque pour tout réel A, il existe un rang entier n0 vérifiant la proposition : .
On note , ou ou .
Illustration de la définition 1
Les suites numériques (n), (n2), (n3) et sont considérées comme les exemples usuels de suites numériques vérifiant la définition 1.
Ainsi, par exemple, .
En effet, soit A un réel quelconque.
On pose n0 le plus petit entier supérieur à .
On dispose alors de la proposition : et .
La suite (n2) vérifie bien la définition 1.
Définition 2
On dit que la suite u a pour limite quand n tend vers lorsque tout intervalle de la forme contient toutes les valeurs un à partir d’un certain rang.
Autrement dit, la suite u a pour limite quand n tend vers lorsque pour tout réel A, il existe un rang entier n1 vérifiant la proposition : .
On note , ou ou .
Remarque
L’illustration de cette définition est similaire à celle de la définition 1. Il serait souhaitable pour vous, lecteur de cette fiche, de la faire. Cela vous permettra de tester votre compréhension de la définition 2.
Les suites numériques (-n), (-n2), (-n3) et sont considérées comme les exemples usuels de suites numériques vérifiant la définition 2.
Ainsi, par exemple, .
2. Limite finie
Soit u = (un) une suite numérique.
Définition 3
On dit que la suite u a pour limite un nombre réel L quand n tend vers lorsque tout intervalle ouvert contenant L contient toutes les valeurs un à partir d’un certain rang.
Autrement dit, la suite u a pour limite L quand n tend vers lorsque pour tout intervalle ouvert I contenant L, il existe un rang entier n2 vérifiant la proposition : .
On note ou ou .
Illustration de la définition 3
Les suites numériques , , et sont considérées comme les exemples usuels de suites numériques vérifiant la définition 3 avec L = 0.
Ainsi, par exemple, .
3. Diverses remarques
Soit u = (un) une suite numérique.
Soit
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