Maths - Propositions et prédicats
Cours : Maths - Propositions et prédicats. Recherche parmi 299 000+ dissertationsPar Adib J. • 7 Mars 2017 • Cours • 631 Mots (3 Pages) • 595 Vues
Propositions et prédicats
- Introduction
La logique, c’est l’étude des raisonnements. Il existe différentes logiques.
- Définition de proposition
Une proposition est un énoncé simple du langage courant qui peut être soit VRAI, soit FAUX (noté V ou 1, F ou 0).
Ex : Jean est absent
- Propriété
Un énoncé propositionnel comporte des propositions reliées par des conjonctions de coordination : mais, ou, et, donc, or, ni, car
- Remarque
Toutes les phrases ne sont pas des propositions.
Ex : l’ordre « Sortez », l’exclamation : «Oh il est beau !», la question : « Pourquoi n’est-il pas arrivé ? »
- A chaque proposition, on attribue une table de vérité (soit V ou 1, soit F ou 0)
- Négation d’une proposition
Ex : P : « Jean est absent »
Non P : « Jean n’est pas absent »[pic 1]
Est la négation de P (autre notation non P ; P (avec une barre au-dessus de P)[pic 2]
Est le connecteur de négation[pic 3]
Table de vérité de la négation
P | [pic 4] |
1 | 0 |
0 | 1 |
- Conjonction
Ex : Soit P : « il pleut »
Soit Q : « il y’a du vent »
P et Q : il pleut et il y’a du vent
Définition : A tout couple de proposition (P, Q) la conjonction associe la proposition notée PQ dont la valeur de vérité est donnée par la table de vérité.[pic 5]
P | Q | PQ[pic 6] |
1 | 1 | 1 |
1 | 0 | 0 |
0 | 1 | 0 |
0 | 0 | 0 |
- Disjonction
Ex PQ : « Il pleut ou il y’a du vent »[pic 7]
Définition : A tout couple (P, Q) la disjonction associe la proposition notée PQ dont la valeur de vérité est donnée par la table de vérité.[pic 8]
L’opérateur (ou connecteur) logique est appelé « ou inclusif » à la différence de « ou exclusif ». [pic 9]
P | Q | P Q[pic 10] |
1 | 1 | 1 |
1 | 0 | 1 |
0 | 1 | 1 |
0 | 0 | 0 |
Remarque : On peut combiner les deux connecteurs logiques « et » et « ou » par exemple : « Jean est présent » est « Sarah à changer de coiffure » ou « Morgan est au tableau ».
- Implication
Définition : A tout couple (PQ) l’implication associe la proposition notée P => Q dont la valeur de vérité est donnée par la table de vérité.
P | Q | P Q[pic 11] |
1 | 1 | 1 |
1 | 0 | 0 |
0 | 1 | 1 |
0 | 0 | 1 |
- Equivalence
- Propriété des connecteurs
- Commutativité de et [pic 12][pic 13]
Pour toutes propositions P, Q on a : P Q ⬄ Q // P ⬄ Q [pic 14][pic 15][pic 16][pic 17]
- Double distributivité
Pour toutes propositions P, Q, R : P⬄ (P[pic 18][pic 19]
P⬄ (P[pic 20][pic 21]
- Eléments neutre
Soit V une proposition toujours vraie.
Soit F une proposition toujours fausse.
Pour toute proposition P : P ⬄ P et P ⬄ P [pic 22][pic 23]
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